7 класс. Тема «Перестановки.
Факториал»
Задачи (с решениями)
1. Сколькими способами
могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
Решение.
Различные варианты
расположения п человек в очереди отличаются один от другого только порядком
расположения людей, т. е. являются различными перестановками из п элементов.
Три человека могут встать
в очередь Р3 = 3! = 6 различными способами.
Ответ: 1) 6 способов; 2)
120 способов.
2. Сколько различных
правильных (с точки зрения русского языка) фраз можно составить, изменяя порядок
слов в предложении: 1) «Я пошел гулять»; 2) «Во дворе гуляет кошка»?
Решение.
Во втором предложении
предлог «во» должен всегда стоять перед существительным «дворе», к которому он
относится. Поэтому, считая пару «во дворе» за одно слово, можно найти
количество различных перестановок трех условных слов: Р3 = 3! = 6. Таким
образом, и в этом случае можно составить 6 правильных предложений.
Ответ: 1) 6; 2) 6.
3. Сколькими способами
можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?
Решение.
Будем считать, что вершины
четырехугольника пронумерованы, за каждой закреплен постоянный номер. Тогда
задача сводится к подсчету числа разных способов расположения 4 букв на 4
местах (вершинах), т. е. к подсчету числа различных перестановок: Р4 = 4! =24
способа.
Ответ: 24 способа.
4. Сколько существует
выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него
перестановкой множителей?
Решение.
Дано произведение пяти
различных сомножителей abcde, порядок которых может меняться (при перестановке
множителей произведение не меняется).
Всего существует Р5 = 5! =
120 различных способов расположения пяти множителей; один из них (abcde)
считаем исходным, остальные 119 выражений тождественно равны данному.
Ответ: 119 выражений.
5. Ольга помнит, что
телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти
цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется
перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Решение.
Три последних цифры
телефонного номера могут быть расположены в одном из Р3 =3! =6 возможных
порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу набрать верный
вариант, может набрать его третьим, и т. д. Наибольшее число вариантов ей
придется набрать, если правильный вариант окажется последним, т. е. шестым.
Ответ: 6 вариантов.
6. Сколько
шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1,2, 5, 6,
7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Решение.
а) Дано 6 цифр: 1, 2, 5,
6, 7, 8, из них можно составлять разные шестизначные числа, только переставляя
эти цифры местами. Количество различных шестизначных чисел при этом равно Р6 =
6! = 720.
б) Дано 6 цифр: 0, 2, 5,
6, 7, 8, из них нужно составлять различные шестизначные числа. Отличие от
предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.
Можно применить метод
исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить Р6 = 6! = 720 различными
способами. Среди этих способов будут такие, в которых на первом месте стоит
ноль, что недопустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на
первом месте стоит ноль (он фиксирован), то на последующих пяти местах могут
стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество
различных способов, которыми можно разместить 5 цифр на 5 местах, равно Р5 = 5!
= 120, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно 120.
Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: Р6 - Р5 =
720 - 120 = 600.
Ответ: а) 720; б) 600
чисел.
7. Сколько среди
четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9,
таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?
Решение.
а)
Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырехзначные числа, начинающиеся с цифры 3.
Фиксируем
цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах
в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7 9 Общее количество
вариантов их расположения равно Р3= 3!=6. Столько и будет разных четырехзначных
чисел, составленных из данных
цифр и начинающихся с цифры 3.
б) Заметим, что сумма
данных цифр 3 + 5 + 7 + 9 = 24 делится на 3, следовательно, любое
четырехзначное число, составленное из этих цифр, делится на 3. Для того, чтобы
некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались
цифрой 5.
Фиксируем цифру 5 на
последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трех местах перед 5 Рз =
3! = 6 различными способами. Столько и будет разных четырехзначных чисел,
составленных из данных цифр, которые делятся на 15.
Ответ: а) 6 чисел; б) 6
чисел.
8. Найдите сумму цифр
всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их
повторения).
Решение.
Каждое четырехзначное
число, составленное из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения), имеет сумму цифр,
равную 1+3 + 5 + 7=16.
Из этих цифр можно
составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр.
Сумма цифр всех этих чисел будет равна 16·24=
384.
Ответ: 384.
9. Семь мальчиков, в
число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных
комбинаций, если:
а) Олег должен находиться
в конце ряда;
б) Олег должен находиться
в начале ряда, а Игорь - в конце ряда;
в) Олег и Игорь должны
стоять рядом.
Решение.
а) Всего 7 мальчиков на 7
местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце
ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6
мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6=6!=720.
пару как единый элемент,
переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда
будет Р5 = 5! = 120.
Пусть теперь Олег и Игорь
стоят рядом в порядке ИО. Тогда получим еще Р6 = 6! = 720 других комбинаций.
Общее число комбинаций, в
которых Олег и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720 + 720 = 1 440.
Ответ: а) 720; б) 120; в)
1 440 комбинаций.
10. В расписании на
понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура,
химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так,
чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение.
Всего 6 уроков, из них два
урока математики должны стоять рядом.
«Склеиваем» два элемента
(алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом
варианте «склеивания» получаем Р5 = 5! = 120 вариантов расписания. Общее число
способов составить расписание равно120 (AГ) +120 (ГА) = 240.
Ответ: 240 способов.
Решить:
1.Вычислите:
а) 6!-5!; б)5!/5; в)10!/5!; г)11!/5! · 6!;
д)3!+2!;
е)5!-4!;
ж)(7!+3!):5!.
2. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на
четырехместной скамейке?
3. У Вовы на обед -
первое, второе, третье блюда и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а
все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов
обеда.
4. Четыре друга купили
билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором
ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?
5. Курьер должен
разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
6. Сколькими способами
можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, D, E, F, G, K?
7. Сколько существует
перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом?
8. Сколько четных пятизначных чисел можно составить из
цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в число только один
раз?
9. Яблоко, апельсин, груша и банан
лежат на столе в ряд. Апельсин не в начале и не в конце этого ряда. Стоя лицом
к этому ряду, можно увидеть, что апельсин - справа от банана (но не обязательно
рядом с ним). Сколько разных вариантов расположения фруктов может быть ?
10. В сборнике занимательных задач Я.
Перельмана “Живая математика” есть рассказ “Бесплатный обед”. В
нем описывается случай, происшедший с десятью выпускниками, которые не могут
отпраздновать окончание школы, потому что никак не решат: в каком порядке им сесть.На
выручку им пришел официант, который предложил сегодня сесть, как придется, на
другой день прийти и сесть по-другому и так каждый день, пока не наступит такой
день, когда они опять сядут так, как сидят сегодня. И тогда официант обещал
угостить всех бесплатным обедом. Как вы думаете, долго ли друзьям придется
дожидаться бесплатного обеда?
